Categories: geometriaMatematica

data la semicirconferenza di diametro AB e centro C, data la circonferenza di centro G tangente

[Ometto i calcoli intermedi]
Sia H il piede della perpendicolare di D rispetto ad AB, e GK l'altezza del triangolo GFC. Posto AC=2 ricavo AF=rad5-1. Dalla proporzione AG:GC=AD=DH ricavo DH=1+1/rad5. Da AG:AC=AD:AH ricavo CH=2/rad5. Pertanto CD^2=2+2/rad5. Dal teorema di Pitagora al triangolo GKC ricavo poi CF^2=2-2/rad5. Ne deriva CD^2/CF^2=phi^2, essendo phi=(1+rad5)/2.
Potrebbe essere una buona soluzione
Senza perdere in generalità si assuma CB=2 e l' origine degli assi in C; L'equazione del cerchio diventa x^2+(y-1)^2=1 e il punto F ha coordinate -2/rad5, 1-1/rad5. Si ottiene facilmente FC^2= 2-2/rad5 e FE^2= 2+2/rad5. Si verifica che FC^2=FE^2-FE xFC
È forse sufficiente dimostrare che AF dipende dal numero aureo. Poi la diagonale del triangolo dipende da numero aereo + 2 volte raggio piccolo.
R=raggio grande
r=raggio piccolo AF=k
(r+k)^2 = R^2 + r^2
r^2 + 2kr + k^2 = R^2 + r^2 abbiamo da risolvere
k^2 - 2kr - R^2 = 0 se R=1 r=1/2 quindi si ha
k^2 - k -1 = 0 formula numero aureo
Nel caso il risultato è uguale a 1/1,618= 0,618
pasquale.clarizio

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pasquale.clarizio
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