Determinare le terne (x, y, z) di interi positivi per cui è verificata l'equazione x³ + y³ = 3^z
Una soluzione parziale la fornisce la parametrizzazione
x=3ⁿ
y=2·3ⁿ
z=3n+2
basta notare che
(3ⁿ)³+(2·3ⁿ)³=3ᶻ
diviene
3³ⁿ(1+2³)=3ᶻ
3³ⁿ3²=3ᶻ
z=3n+2
ovviamente per l′ultimo teorema di Fermat
z≠3n
poi ad esempio dobbiamo imporre
x³+y³=0 mod 3
x+y=0 mod 3
allora possiamo scegliere
x=3h-2 y=3k-1
x=1 y=1 z=2
x=3h-2 y=3k+2
x=1 y=2 z=2
x=3h-1 y=3k+1
x=1 y=1 z=2
x=3h y=3k
x y z
3 6 5
9 18 8
....
x=3h+1 y=3k+2
x=1 y=2 z=2
Le soluzioni son simmetriche rispetto a x e y.
Esempi di soluzioni:
x y z
1 2 2
2 1 2
3 6 5
6 3 5
9 18 8
18 9 8
27 54 11
54 27 11
81 162 14
162 81 14
243 486 17
486 243 17
Ci sono altre soluzioni?
ci son anche le soluzioni in cui x o y o z é 0 e quelle simmetriche scambiando x e y; la parametrizzazione che ho riportato dovrebbe coprire tutte le altre essendo unica. Salvo quelle citate e mie mancanze non dovrebbero esservene altre.
hai solo verificato, che
(x = 3ⁿ, y = 2*3ⁿ, z = 3n + 2), o quella che si ottiene scambiando x con y, è soluzione dell'equazione. Teoricamente potrebbero esistere altre soluzioni
se si avesse una soluzione diciamo in generale x=h*3^m, y=k*3^n con n>m, allora 3^m(h^3+k^3*3^(n-m))=3^z; deve essere m=z per cui semplificando h^3+k^3*3^(n-m)=1 ma ciò è possibile solo se h=0 k=1, n=m, per cui mi troverei una soluzione banale
dall'ipotesi, arbitraria, che x, y siano potenze ennesime di 3
ho dimostrato che i numeri non proporzionali a potenze di 3 devono essere quelli per cui:
x³+y³=0 mod 3
x+y=0 mod 3
allora possiamo scegliere
x=3h-2 y=3k-1
x=1 y=1 z=2
x=3h-2 y=3k+2
x=1 y=2 z=2
x=3h-1 y=3k+1
x=1 y=1 z=2
x=3h y=3k
x y z
3 6 5
9 18 8
....
x=3h+1 y=3k+2
x=1 y=2 z=2
Le soluzioni son simmetriche rispetto a x e y.
Ci sono due possibili dimostrazioni:
1) dal teorema di Zsigmondy
per le somme sappiamo che se {x,y} sono interi positivi, mcd(x,y)=1 e n intero positivo, allora esiste un fattore primo p che divide x^n + y^n ma non x^k + y^k, con k = {1, 2,..., n-1}, eccetto il caso 2^3 + 1^3.
Nel caso in oggetto n = 3 e sussiste
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
Quindi 3 | (x + y)
Ma quindi x^3 + y^3 dovrà avere un fattore primo diverso da 3, rendendo insolubile l'equazione, perciò la soluzione è proprio l'eccezione {2,1} o {1,2}, e considerando che basta moltiplicare x e y per lo stesso fattore a e si ritrova la stessa equazione, avremo che le soluzioni dell'equazione sono
{3^k, 2*3^k, 3k+2} oppure {2*3^k, 3^k, 3k+2} con k intero non negativo
Sussistendo le condizioni per usare il Lifting-the-exponent lemma
si arriva alle stesse conclusioni della soluzione precedente
About Post Author
