le potenze in matematica. come si risolvono
In matematica esistono solo proprietà. Nello specifico, definita un'operazione, si stabiliscono le proprietà. Queste proprietà sono dei teoremi spesso immediati. Quello di cui bisogna stare attenti e di non scrivere operazioni ambigue. L'ambiguità si risolve con un uso appropriato delle parentesi.
Le regole esistono per le macchine da calcolo e le stabilisce il costruttore
A meno di parentesi si procede SEMPRE dal basso verso l'alto.
Pertanto gli esponenti si moltiplicano.
una potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Pertanto:
2^3^4^5=(((2^3)^4)^5)=2^(3*4*5)=2^60
Ed inoltre:
2^3^4^5=2^5^4^3
Mentre:
((2^3)^4)^5<>2^(3^(4^5))
Sintesi N.1: per le potenze NON VALE la proprietà associativa.
Sintesi N.2: per le potenze VALE la proprietà commutativa.
La regola per cui la potenza di una potenza è uguale ad una potenza con la stessa base e con per esponente il prodotto degli esponenti vale solo se l'espressione è del tipo (a^b)^c, il cui risultato sarà dunque a^(b*c). Senza le parentesi invece si svolgono potenze normali "dall'alto verso il basso" quindi per esempio 2^3^3^2 senza parentesi è uguale a 2^[3^(3²)]=2^(3⁹)=2^19683
E' bene chiarire una definizione, importante:
la potenza, così come addizione, sottrazione, moltiplicazione, è un'operazione binaria. Ad una coppia ordinata di numeri (base, esponente) si associa un terzo numero (potenza). Utilizzando numeri naturali possiamo definirla come moltiplicazione ripetuta. Con esempi molti semplici si vede subito che non vale la proprietà commutativa. Nel post si congettura che valga la proprietà associativa (applicabile ad una potenza "ripetuta"), ma gli stessi calcoli esposti dimostrano che neppure quella vale. La potenza "ripetuta" non è un'altra operazione, ma una sequenza di operazioni. L'ordine con il quale eseguire la sequenza di operazioni ci viene indicato da una scrittura convenzionale.
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