Polinomi di Bernstein
ricordando che il teorema di Weierstrass assicura l'esistenza di almeno un massimo e di un minimo assoluto sull'immagine di un insieme compatto di una funzione continua.
Direttamente collegato a questo risultato ne troviamo un altro importante noto in letteratura come 'Teorema di approssimazione di Weierstrass' che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere nella norma infinito con un polinomio di grado opportuno.
Usando la terminologia degli spazi normati si potrebbe anche dire che lo spazio dei polinomi definiti sopra un intervallo compatto [a,b] (sottoinsieme di R) è denso nello spazio delle funzioni reali continue definite su quell'intervallo.
In parole più semplici stiamo dicendo che presa una funzione reale continua su [a,b] possiamo sempre costruire un polinomio di grado opportuno che approssimando la funzione si discosterà puntualmente da essa al massimo entro una determinata tolleranza piccola a piacere.
La dimostrazione del teorema di approssimazione è fortunatamente costruttiva!
Infatti tale dimostrazione viene basata sovente (ma non esclusivamente) sui polinomi approssimanti di Bernstein B(f,x) costruiti per una opportuna funzione f(x) definita sopra un intervallo [a,b].
Si può mostrare graficamente che i polinomi di Bernstein convergono ad una data funzione f(x) quando il loro grado aumenta.
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