sia una successione reale a termini positivi. dimostrare che il prodotto infinito converge

Considerando i prodotti parziali:

log(Π (1+a_n))=Σ log(1+a_n)

Mandando al limite ritorno alla mia sommatoria perché log(1+a_n)~a_n quando a_n è infinitesimo (lo è necessariamente affinché ci sia sia convergenza del prodotto che della somma).

Vale dunque come se e solo se, perché hanno lo stesso comportamento (il fatto di applicare il log alla produttoria non varia la sua convergenza, se diverge diverge anche col log, se converge a maggior ragione lo farà anche col log)