Siano △ₘ e △ₙ numeri triangolari. 4·(△ₘ+△ₙ)+1 è sempre esprimibile come somma di due quadrati interi
Non avendo precisato che deve essere
m ≠ n e che ogni quadrato non deve essere nullo, l'affermazione è falsa. Per esempio, se m = n = 3, T(m) = T(n) = 6 e quindi
4(6 + 6) + 1 = 49 che non può essere la somma di due quadrati perché il divisore primo 7 non è della forma
4k + 1
0 è intero ed è un quadrato, perché non va bene?
è come dire che ogni quadrato si può esprimere come somma di due quadrati: a² = 0 + a², che ogni cubo è la somma di due cubi,...., che l'ultimo teorema di Fermat è falso essendo
aⁿ = aⁿ + 0ⁿ
L’enunciato dell’ultimo teorema di Fermat specifica che gli interi devono essere positivi.
Il testo proposto in questo post non esclude che uno degli interi possa essere 0
È sicuramente possibile esprimerlo come somma di due quadrati se n≠m non nulli in quanto
Δ(m) e Δ(n) sono interi
quindi
Δ(m)+Δ(n)=k ∈ℕ
e
4k+1 è sempre esprimibile come somma di due quadrati di cui uno dispari l′altro pari.
4(m(m+1)/2+n(n+1)/2)+1=
2m²+2m+2n²+2n+1=
m²-2mn+n²+m²+n²+2mn+2m+2n+1=
(m-n)²+(m+n+1)²
vale per i primi del tipo 4k+1 che sono esprimibili in forma a²+b² oltre al nr 2 naturalmente
i primi che si possono esprimere come
a²+2b² son della forma
8k+1 e 8k+3
i primi che si possono esprimere come
a²+3b² son della forma
6k+1
e ogni prodotto di primi della stessa forma si può esprimere in quella forma
formula è corretta, ma bisogna imporre che sia m ≠ n o, almeno, che ogni divisore primo di
m + n + 1 sia della forma 4k +1
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