Determinare tutte le funzioni f: ℝ → ℝ tali che, presi x e y ∈ ℝ arbitrari

f(0)=0

f(-x)=f(0-x)=f(x), f è pari

f(x+y)=f(x)+f(-y)-2x(-y)=f(x)+f(y)+2xy

f(x+dx)=f(x)+f(dx)+2xdx

f(x+dx)-f(x)=f(dx)-f(0)+2xdx (*)

f'(x)=f'(0)+2x

f(x)=c+xf'(0)+x²

Ma poiché f deve essere pari f'(0)=0

=> f(x)=x²+c, ma

f(x-y)=(x-y)^2+c

f(x)+f(y)-2xy=x^2+c+y^2+c-2xy => c=0

Naturalmente ho assunto f derivabile, è un'assunzione necessaria? Se è derivabile in 0 da questo dovrebbe discendere la derivabilità ovunque secondo la (*)