il det del sistema nella matrice incompleta e mi è uscito 8k=0

Devi considerare la matrice completa e quella incompleta. Vedere se queste due hanno lo stesso rango o meno. Se hanno lo stesso rango applicando il teorema di RC riesci a trovare le infinito ^n- rk soluzioni. Se invece hanno ranghi diversi le due matrici il sistema non ammette soluzioni. Ovviamente in questo caso il sistema è sempre compatibile in quanto ammette almeno la soluzione banale ossia (0,0,0,0) visto che hai 4 incognite

Ora se consideriamo le due matrici quella completa e incompleta osserviamo subito che la matrice incompleta è 4 x4. Questa ha determinante in funzione di k. Ora quindi escludendo i valori di k che annullano questo determinante per i restanti il determinante sarà diverso da zero. Quindi la matrice incompleta ha rango 4. Considero la matrice completa questa è 4 x 5. Estraggo un minore di ordine 4 e vedo che questo ha rango 4. Il minore di ordine 4 è proprio uguale alla matrice incompleta. Segue quindi che per tutti i valori di k che non annullano il determinante della matrice incompleta le due matrici avranno rango pari a 4. Quindi il sistema ammette 1 sola soluzione. Infinito alla n- rk A soluzioni. n= numero delle incognite. Rk A rango della matrice incompleta. Ora bisogna vedere che succede per i valori di k che annullano il determinante.