integrale indefinito: definirlo e applicarlo a un esercizio

L'integrale indefinito è per definizione l'insieme delle primitive. Denoto con F la generica primitiva di f.

In ogni intervallo in cui f(x)=1 deve essere F(x)=x+c per una certa costante c. In ogni intervallo in cui f(x)=x^2 deve essere F(x)=(1/3)x^3+c per una certa costante c, uguale o diversa dalla c di cui sopra. Gli intervalli che conviene considerare sono

(-oo,-1), (-1,1) e (1,+oo), in ciascuno dei quali si verifica una delle due situazioni descritte sopra.

Le primitive devono essere funzioni derivabili in tutto R con derivata f. In particolare devono essere continue. Abbiamo allora tre formule per F nei tre intervalli di cui sopra e occorre scrivere i legami fra le tre costanti che rendono F continua in -1 e in 1. Lascio a lei i calcoli.

La derivabilità in questi punti e le formule F'(+/-1)=f(+/-1) saranno automatiche per il seguente teorema, conseguenza del Teorema di De l'Hôpital (applicarlo al rapporto incrementale di F):

se f,F:(a,b)-->R sono continue e c è un punto di (a,b) tale che per x diverso da c la funzione F ha derivata in x e si ha che F'(x)=f(x), allora F è derivabile anche in c e risulta F'(c)=f(c).