L'arcinoto teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati costruiti sui cateti a e b è equivalente

a² + b² = c².

Il teorema di Pitagora si può riformulare in linguaggio trigonometrico. Se 𝛼, 𝛽 e 𝛾 sono gli angoli del triangolo (assumiamo che 𝛾 sia quello retto), abbiamo:

sin²(𝛼) + sin²(𝛽) = 1.

Infatti, per definizione di seno, si ha a = c·sin(𝛽) e b = c·sin(𝛼), da cui, dividendo la formula di Pitagora per c²:

a²/c² + b²/c² = 1 ⇒ sin²(𝛼) + sin²(𝛽) = 1.

Dato che 𝛽 = 90° - 𝛼, e sin(90°-𝛼) = cos(𝛼), l'equazione sopra è anche equivalente all'identità trigonometrica fondamentale sin²(𝛼) + cos²(𝛼) = 1.

Facciamo un ulteriore passo: dato che 𝛾 = 90°, si ha sin(𝛾) = 1, per cui possiamo riscrivere equivalentemente:

sin²(𝛼) + sin²(𝛽) + sin²(𝛾) = 2.

Questa identità è completamente simmetrica rispetto ai tre angoli. Si può anche riscrivere come:

cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾) = 1.

Infine, vale anche il viceversa: se un triangolo è tale che i suoi angoli soddisfano la relazione

sin²(𝛼) + sin²(𝛽) + sin²(𝛾) = 2

allora il triangolo è necessariamente rettangolo (cioè 𝛼 oppure 𝛽 oppure 𝛾 è un angolo retto)