per conoscere la sua energia lungo quel percorso al variare delle velocità istantanee x'(t) e y'(t), ovvero le derivate delle coordinate spaziali x(t) e y(t) che formula è necessario applicare?
Inizialmente ho pensato ad E(t) = m x'(t) y'(t), in quanto le dimensioni [ Kg * m/s * m/s ] sono esattamente quelle di un' energia.
Mi accorgo però che questa formula non può andare, almeno per un motivo:
Le velocità x'(t) ed y'(t) qui cambiano perché abbiamo assunto che sono istantanee cioè sono valide in un preciso istante di tempo t.
Quindi nell'area A = xy, mi viene da pensare che questa energia E dipenda dalle velocità medie di x'(t) e y'(t).
Dunque se non sbaglio è necessario almeno integrarle separatamente per estrarne le velocità medie.
A me interesserebbe, ripeto calcolare l'energia E(t) consumata nel tempo t, a partire da t=t0, dal moto di una massa m in uno spazio bidimensionale di area A = xy conoscendo solo le due velocità x'(t) e y'(t) e la massa m in ogni istante di tempo.
L'energia cinetica del punto materiale è 1/2 m v^2 , dove v è il MODULO della velocità istantanea del punto materiale , quindi v=sqrt(vx^2+vy^2). vx e vy sono le derivate delle componenti della posizione (x(t),y(t)) rispetto al tempo. Se la traiettoria e piana ed il piano è orizzontale ( z=cost in un riferimento O,x,y,z ) , l'energia potenziale gravitazione è ovviamente uniforme perché tale piano è una superficie equipotenziale. Tale energia può anche essere assunta pari a zero poiché il potenziale è definito a meno di una costante additiva.
Il punto però è calcolare l'energia totale spesa...durante tutto il moto.
E ragionando meglio non può essere la differenza tra due Energie.
Bensi penso sia:
E_tot(t)=integrale(E(t))dt da t=0 a t=T
L'energia è somma tra cinetica e potenziale. Assumendo quindi un potenziale V(x, y) abbiamo che l'energia in un istante t vale
1/2 m (x'(t)²+y'(t)²)²+ V(x(t), y(t))
ma così conosco la velocità in ogni istante t, (hai trovato la v(t)=sqrt(x(t)^2 + (y(t)^2) tangenziale?), però forse dovrei semplicemente integrare E(t) per ottenere tutta la E usata dal t=t0 al tempo t?