Categories: Matematica

Si applichi all'iperbole H di equazione X² - Y² - a² = 0, con a reale positivo, l'inversione circolare con polo nell'origine O degli assi e potenza di inversione a².

Si applichi all'iperbole H di equazione
X² - Y² - a² = 0, con a reale positivo,
l'inversione circolare con polo nell'origine O degli assi e potenza di inversione a².
1) Dimostrare che l'inversione trasforma H in una lemniscata di Bernoulli L;
2) Dimostrare che L è razionale;
3) Trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinché quattro punti di L siano allineati;
4) trovare la condizione affinché quattro punti di L siano conciclici;
5) Calcolare l'area delimitata da L.
L'inversione circolare di centro (0,0) e raggio a può essere vista su C come l'involuzione antiolomorfa conforme sulla sfera (C u inf), in coordinate è la funzione da C in C che manda z in a^2/(z coniugato). In questo modo, esplicitandola in (x,y), salta fuori che è data da x'=a^2x/(x^2+y^2) e y'=a^2y/(x^2+y^2). Da questo sostituendo a x^2-y^2=a^2 è facile mostrare che si ottiene proprio l'equazione di una lemniscata. Per dimostrare la razionalità di L ci sono vari modi, il mio preferito è algebrico: la lemniscata ha chiaramente un punto ordinario di molteplicità 2 in (0,0) e tramite il cambiamento di coordinate locale dato da 1/z si vede che ha altri due punti ordinari di molteplicità 2 nella retta all'infinito, ovvero i due punti proiettivi [1,i,0] e [1,-i,0]. Ora L è una curva di grado 4 con 3 punti doppi ordinari, cioè ha genere aritmetico=(4-1)(4-2)/2-3*(2)(2-1)/2=0. Quindi L ha genere aritmetico 0 ed è quindi razionale. Il punto 5) è un calcolo standard di integrazione in coordinate polari.
dati A=(x1,y1),B=(x2,y2),C=(x3,y3) e D=(x4,y4) punti di L si ha che ABCD sono allineati se e solo se il rango della matrice 2x4 (A B C D) ha rango 1, i.e se e solo se i 6 minori possibili (determinanti della forma xi*yj-xj*yi) sono uguali a 0 per 1<= i<j<=4. Analogamente ABCD sono conciclici se il determinante della matrice 4x4 le cui colonne sono rispettivamente la norma dei 4 punti alla seconda, coordinata x dei 4 punti, coordinata y dei 4 punti e il vettore (1,1,1,1) è uguale a 0. Questo mi da una condizione algebrica corrispondente ad un polinomio di grado 4 nelle coordinate xi e yi.
pasquale.clarizio

Share
Published by
pasquale.clarizio
6 anni ago

Recent Posts

L'API che comunica con un file CSV nella stessa Root, convertendo i dati del CSV in un JSON pronto

Partiamo da questo: [crayon-6adbad83e3dba170787864/] https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api35/index8.php [crayon-6adbad83e3dd0008146495/] Esisterà il file all'interno della ROOT ? https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api35/index9.php [crayon-6adbad83e3dd6804520101/]…

23 ore ago

meglio mangiare 1 anacardo, 1 pistacchio, 1 mandorla o 1 castagna?

Dal punto di vista nutrizionale, non esiste una scelta "migliore" in assoluto, poiché dipende dal…

2 giorni ago

Se vado su Google e cerco: pizzeria su Roma, Google me la cerca. Giusto? Ma se in fondo volessi che la pizzeria su Roma venisse cercata da Macchine, ovvero elaborata da computer, come posso fare?

Sì, esatto! Se cerchi "pizzeria su Roma" manualmente, Google ti mostra una lista visiva pensata…

2 giorni ago

API: partendo da zero e gestione del Form con funzione FETCH, costruendo il form con anni e data di nascita

[crayon-6adbad83e418e858491259/] nello specifico, che cosa ho fatto? [crayon-6adbad83e419d819454594/] a questo: [crayon-6adbad83e41a2809154707/] e se invece: [crayon-6adbad83e41a7867854725/]…

3 giorni ago

API: partendo da zero tramite Form e funzione Fetch gestire la richiesta dell'età o della data di nascita

[crayon-6adbad83e44f4900666876/] da capire la gestione: [crayon-6adbad83e4501224097269/] https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api34/form16.php [crayon-6adbad83e4507963546253/] https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api34/api_test13.php?anni=82

3 giorni ago

API: partendo da zero e gestione del Form con funzione FETCH

form11.php [crayon-6adbad83e48f8553852036/] https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api34/form11.php [crayon-6adbad83e4905014570312/] https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api34/api_test13.php?anni=30 https://www.pasqualeclarizio.it/progetti/basePhp/api34/api_test13.php event.preventDefault() [crayon-6adbad83e490c718806454/] Senza questa riga, il submit del form…

3 giorni ago