Si applichi all'iperbole H di equazione X² - Y² - a² = 0, con a reale positivo, l'inversione circolare con polo nell'origine O degli assi e potenza di inversione a².
Si applichi all'iperbole H di equazione
X² - Y² - a² = 0, con a reale positivo,
l'inversione circolare con polo nell'origine O degli assi e potenza di inversione a².
1) Dimostrare che l'inversione trasforma H in una lemniscata di Bernoulli L;
2) Dimostrare che L è razionale;
3) Trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinché quattro punti di L siano allineati;
4) trovare la condizione affinché quattro punti di L siano conciclici;
5) Calcolare l'area delimitata da L.
L'inversione circolare di centro (0,0) e raggio a può essere vista su C come l'involuzione antiolomorfa conforme sulla sfera (C u inf), in coordinate è la funzione da C in C che manda z in a^2/(z coniugato). In questo modo, esplicitandola in (x,y), salta fuori che è data da x'=a^2x/(x^2+y^2) e y'=a^2y/(x^2+y^2). Da questo sostituendo a x^2-y^2=a^2 è facile mostrare che si ottiene proprio l'equazione di una lemniscata. Per dimostrare la razionalità di L ci sono vari modi, il mio preferito è algebrico: la lemniscata ha chiaramente un punto ordinario di molteplicità 2 in (0,0) e tramite il cambiamento di coordinate locale dato da 1/z si vede che ha altri due punti ordinari di molteplicità 2 nella retta all'infinito, ovvero i due punti proiettivi [1,i,0] e [1,-i,0]. Ora L è una curva di grado 4 con 3 punti doppi ordinari, cioè ha genere aritmetico=(4-1)(4-2)/2-3*(2)(2-1)/2=0. Quindi L ha genere aritmetico 0 ed è quindi razionale. Il punto 5) è un calcolo standard di integrazione in coordinate polari.
dati A=(x1,y1),B=(x2,y2),C=(x3,y3) e D=(x4,y4) punti di L si ha che ABCD sono allineati se e solo se il rango della matrice 2x4 (A B C D) ha rango 1, i.e se e solo se i 6 minori possibili (determinanti della forma xi*yj-xj*yi) sono uguali a 0 per 1<= i<j<=4. Analogamente ABCD sono conciclici se il determinante della matrice 4x4 le cui colonne sono rispettivamente la norma dei 4 punti alla seconda, coordinata x dei 4 punti, coordinata y dei 4 punti e il vettore (1,1,1,1) è uguale a 0. Questo mi da una condizione algebrica corrispondente ad un polinomio di grado 4 nelle coordinate xi e yi.
About Post Author
