Calcolare il limite della successione definita da a(n) = 3/(1! + 2! + 3!) + 4/(2! + 3! + 4!) +..... + (n + 2)/[n! + (n + 1)! + (n + 2)!]
Possiamo scrivere:
Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ[(i+2)/(i!+(i+1)!+(i+2)!)]
metto in evidenza i! a denominatore e ottengo:
Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ[(i+2)/(i!(1+i+1+(i+1)(i+2))]
ovvero dopo delle semplificazioni:
Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ(i+1)/(i+2)!
Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ(i+2-1)/(i+2)!
Sₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ(1/(i+1)!-1/(i+2)!)
serie telescopica:
Sₙ=1/2!-1/3!+1/3!-1/4!+...-1/(n+2)!
Sₙ=1/2-1/(n+2)!
lim ₙ→∞ Sₙ=1/2
o anche
L=lim ₙ→∞ Sₙ=
=e-2-(e-(2+1/2))
L=e-2-e+2+1/2=1/2
La serie converge a L=1/2
in altro modo più tortuoso:
se L è la somma della serie che è convergente per il criterio del rapporto ad esempio,
L=lim ₙ→∞ ∑ᵢ₌₁ⁿ(i+1)/(i+2)!
L=lim ₙ→∞ ∑ᵢ₌₁ⁿi/(i+1)!-1/2=L₁-1/2
con
L₁=lim ₙ→∞ ∑ᵢ₌₁ⁿi/(i+1)!
essendo
e-2=lim ₙ→∞ ∑ᵢ₌₁ⁿ1/(i+1)!
L₁+e-2=lim ₙ→∞{ ∑ᵢ₌₁i/(i+1)!+∑ᵢ₌₁ⁿ1/(i+1)!}=
lim ₙ→∞∑ᵢ₌₁ⁿ1/n!=e-1
L₁+e-2=e-1
L₁=1
L=L₁-1/2=1-1/2=1/2
La serie converge al valore L=1/2
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