Risolvere le equazioni in x: 1) x³ - x² - 2x + m = 1; 2) x³ + x² - 9x - 5m = 4; 3)x³ + 2x² - x - 2m = 0
sapendo che ammettono una radice comune e si determini il valore del parametro reale m.
Risolvere le equazioni in x:
1) x³ - x² - 2x + m = 1;
2) x³ + x² - 9x - 5m = 4;
3)x³ + 2x² - x - 2m = 0
sapendo che ammettono una radice comune e si determini il valore del parametro reale m.
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soluzione:
x=-1, m=1
se P₁(x) P₂(x) P₃(x) hanno una radice a comune posso fattorizzarli come
P₁(x)=(x-a)Q₁(x)
P₂(x)=(x-a)Q₂(x)
P₃(x)=(x-a)Q₃(x)
allora scelti tre coefficienti reali A, B , C
A·P₁(x)+B·P₂(x)+C·P₃(x)=0
per x=a
in quanto equivale a
A·(x-a)Q₁(x)+B·(x-a)Q₂(x)+C·(x-a)Q₃(x)=0
scelgo A, B, C in modo da eliminare m temporaneamente
A=3 B=1, C=-1
ottengo
3x³-4x²-14x-7=0; P(x)=0
utilizzando il teorema delle radici razionali si annulla per x=-1
eseguendo la divisione con la regola di Ruffini o dividendo per x-1 P(x)
ottengo la fattorizzazione
(x+1)(3x²-7x-7)=0
x₁=-1
con le due radici del trinomio di 2ndo grado
x₂ = (7-√133)/6, x₃=(7+√133)/6
sostituendo x₁=-1 nelle 1) 2) 3)
ottengo m=1 in ognuna il sistema è compatibile
sostituendo x₂ o x₃ non ho soluzione.
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