1+2+3+4+...= -1/12, Srinivasa Ramanujan "dimostra" la celebre "identità"
posto
c = 1+2+3+4+...,
si ha
4c = 4+8+12+16+...,
e quindi
-3c = 1 +(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)...
= 1-2+3-4+5-6+...
La "somma" di questa serie a segni alterni è "calcolata" da Ramanujan considerando lo sviluppo di Taylor
1/(1+x)² = 1−2x+3x²−4x³+...
e ponendo x=1, vedi [2]. Questo fornisce -3c = 1/(1+1)² = 1/4, quindi c = -1/12.
È evidente che tale risultato non può sussistere nel senso usuale di "somma di una serie", in quanto (ad esempio) il termine generale di 1+2+3+4+... non è infinitesimo; infatti, la serie dei numeri naturali diverge nel senso usuale.
Più precisamente, almeno due passaggi cruciali della "dimostrazione" esposta sono non giustificabili dal punto di vista della moderna Analisi Matematica:
(1) non è in generale lecito sommare termine a termine due serie divergenti, tra l'altro dopo averle riarrangiate, e ragionare come se si trattasse di somme finite;
(2) lo sviluppo di Taylor sopra considerato vale solo per |x|<1.
Tuttavia, è possibile dare un senso all'identità di Ramanujan considerando una appropriata definizione di "somma di una serie divergente", che passa attraverso un procedimento di regolarizzazione della funzione zeta di Riemann.
Infatti, il risultato di Ramanujan era motivato dal fatto che, quando s=-1, si ha ζ(s)=-1/12, mentre il valore "formale" in s=-1 della funzione zeta è proprio la serie dei numeri naturali.
Una discussione più approfondita e tecnica delle somme di Ramanujan si trova nello splendidol post di Terence Tao [4] che, fra le altre cose, illustra il legame della regolarizzazione di ζ(s) con altri argomenti classici dell'Analisi, come i numeri di Bernoulli, la funzione di von Mangoldt e la formula di Poisson.
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