Ci si può però effettivamente risparmiare qualche calcolo. Per x > 5 l'argomento dell'arcotangente è 3 - x - ln(x-5). Le funzioni y = x e y = ln(x-5) sono entrambi crescenti, quindi y = -x e y = -ln(x-5) sono decrescenti, e in conclusione 3 - x - ln(x-5) è decrescente perché somma di funzioni decrescenti. L'arcotangente è una funzione sempre crescente, per cui preserva la monotonia: la funzione composta arctan(f(x)) è crescente / decrescente negli stessi intervalli in cui è crescente / descrescente f(x) per qualsiasi funzione f.

Quindi, per x > 5 si può immediatamente concludere che arctan[3 - x - ln(x-5)] è monotona decrescente, senza necessariamente studiarne la derivata. Va comunque motivato. Quello che è scritto sul terzo foglio non lo capisco e non mi pare corretto.

Per inciso: andrebbe benissimo anche studiare il segno la derivata della funzione per x > 5, e si concluderebbe che è sempre negativa.