calcolare l'integrale col trucco di Feynman
I(a)=∫(arctan(a·tan(x))/tan(x))dx|0,π/2
I′(a)=∫(1/(1+(a·tan(x))²))dx|0,π/2
Tenendo conto che 1/cos²(x)=1+tan²(x)
con la sostituzione
t=tan(x)
si arriva a una primitiva
∫(1/((1+t²)(1+a²t²)))dt
il cui calcolo si fa per decomposizione in frazioni parziali e fornisce:
I′(a)=
(a·arctan(a·tan(x))-x)/(a²-1)|0,π/2=
π/(2(a+1))
tenendo conto che I(0)=0
integrando
dI/da=π/(2(a+1))
I(a)=(π/2)ln(a+1)
e quindi per a=φ
I=(π/2)ln(φ+1)=πln(φ)
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