come risolvere: x^4 + x^3+x^2+x + 1 = 0
Basta notare che
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
Quindi
(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x^5-1) /(x-1)
Le radici sono le 4 radici quinte non reali dell'unità
x non può essere positivo (sono tutte somme, non possono dare come risultato zero)
x non può essere zero (c'è un termine positivo che vale 1)
x non può essere negativo (qualsiasi numero negativo elevato al cubo resta negativo, ma è inferiore a quel numero alla quarta potenza, che diventa un termine positivo).
Teorema fondamentale dell'algebra: "Qualsiasi polinomio a coefficienti reali o complessi di grado n>=1 ammette sempre n radici complesse" quindi questo polinomio ha 4 radici complesse, ma trovarle mi sembra "complesso"
potremmo anche:
Non scomponibile tramite alcun prodotto notevole, compreso ruffini dato che individuando i divisori del termine noto (1) = ±1 e sostituendo nell'equazione il divisore (-1) con l'intento di ricavare 0 (inutile tentare con +1 visto che sono tutti termini positivi) si ottiene:
1-1+1-1+1 = 1≠ 0
Perciò si è determinato che non esiste alcun valore dell'incognita x appartenente all"insieme ℝ per il cui la seguente equazione sia verificata, ovvero = 0.
Potevamo arrivare a medesima conclusione dato che essendo tutte quantitá positive sommate a +1, un numero a sua volta positivo, sicuramente non poteva essere nulla.
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