Come si dimostra che `\sqrt{n+\sqrt{n}}` è irrazionale?
Se n è naturale, la dimostrazione è la seguente. Se
sqrt(n+sqrt(n))
fosse razionale, lo sarebbe anche il suo quadrato ovvero
n+sqrt(n).
Sottraendo n, che è razionale, otterremmo che
sqrt(n)
è razionale, ovvero n è un quadrato perfetto, vale a dire esiste m naturale tale che
n = m^2.
Quindi la questione si riduce alla domanda se m^2+m può essere mai un quadrato perfetto. La risposta è no, perché
m^2< m^2+m < m^2+2m+1= (m+1)^2
cioè, m^2+m è sempre strettamente compreso tra due quadrati perfetti consecutivi.
Se invece n lo ipotizziamo razionale, sqrt(n+sqrt(n)) può essere razionale.
Es. n = 1/9
sqrt(1/9+sqrt(1/9)) = 2/3.
La radice quadrata di un numero irrazionale è irrazionale, quindi basta considerare il caso n quadrato perfetto, ossia n=a^2. In altre parole, basta mostrare che a^2+a=a(a+1) non è un quadrato perfetto. Ma questo è ovvio, essendo tale intero strettamente compreso tra i due quadrati consecutivi a^2 e (a+1)^2.
About Post Author
