Con carta e penna, possibilmente: 101100¹³ + 10111001⁷ è primo?

Con carta e penna, possibilmente: 101100¹³ + 10111001⁷ è primo?

101100=1mod19
10111001=18mod19
Quindi qualunque combinazione di potenze di questi due numeri equivale a 0mod19 cioè è divisibile per 19 e di conseguenza non è primo.
qualunque combinazione di potenze con esponenti positivi.
L'idea è che se voglio controllare se un numero è divisibile per qualcosa che non sia se stesso è comodo farlo in aritmetica modulare. Dato che le potenze naturali di qualunque naturale sono sempre modularmente equivalenti alla propria base ho dedotto che potevo studiare le due basi separatamente. Quindi ho provato a dividete i due numeri per numeri primi in successione finché non ne ho trovato uno rispetto a cui i resti erano complementari.
Se fossero stati divisibili per un primo troppo grande probabilmente mi sarei arreso prima di risolvere il quesito.
vedi un po' cosa succede se al posto di 7 metti 2 o 4
abbiamo visto che 101100 mod 19 = 1 e 10111001 mod 19 = -1, quindi la somma delle potenze è divisibile per 19 se l'esponente di 10111001 è dispari
Poniamo N = a^13 + b^7 con
a = 101100, b = 10111001
N = (a^13 - 1) + (b^7 + 1) =
(a - 1)A + (b + 1)B
con A, B opportuni interi positivi. Poiché
a-1 =101099 = 17*19*313,
b + 1 = 10111002 =
2*3 *11*19*8063,
a - 1 e b + 1 sono entrambi divisibili per 19 e quindi N non può essere primo essendo anch'esso divisibile per 19.

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pasquale.clarizio

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