Continui a lanciare un dado regolare a 6 facce e sommi i risultati ottenuti finché ottieni un numero maggiore di 12

Continui a lanciare un dado regolare a 6 facce e sommi i risultati ottenuti finché ottieni un numero maggiore di 12

Quale “totale” ha più probabilità di uscita?

P(13) = P(12)*P(1) + P(11)*P(2) + P(10)*P(3) + P(9)*P(4) + P(8)*P(5) + P(7)*P(6)
P(14) = P(12)*P(2) + P(11)*P(3) + P(10)*P(4) + P(9)*P(5) + P(8)*P(6)
Ma poiché abbiamo:
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6)
Allora:
P(13) = P(12)*P(1) + P(11)*P(2) + P(10)*P(3) + P(9)*P(4) + P(8)*P(5) + P(7)*P(6) = P(7)*P(6) + P(14)
P(13) > P(14)
sicuramente, 13
Le uguaglianze iniziali sono corrette se le P sono le probabilità totali di avere quelle determinate somme dopo un numero arbitrario di lanci, ma in tal caso la probabilità di avere 1, 2, 3 etc non è la stessa perché, ad esempio, 2 posso averlo con un lancio da 2 o due lanci consecutivi da 1.
Inoltre nel considerare le probabilità di totali più elevati non consideri la regola di doversi fermare se superi 12 con una somma inferiore
Considero, ad esempio, P(11)*P(2). Tu dici, giustamente, che 2 posso ottenerlo come 1+1. Ma dopo il primo 1, sarò nel caso P(12)*P(1)
Al contrario, P(14) non posso ottenerlo facendo come ultimo lancio un 1, ma solo se, come ultimo lancio farò un 2, 3, 4, 5 oppure 6. Per questo la P(14) è minore di P(13)
Risulta più evidente con P(18). Il 18 potrò ottenerlo solo se all'ultimo lancio avrò fatto 6 e se negli n-1 lanci precedenti avrò fatto 12. Non ho altri casi possibili.
Ma la probabilità di fare, ad esempio, 10 nei lanci successivi al primo, non è indipendente dal valore del primo lancio. Ad esempio, se il primo lancio vale 3, qualunque delle possibili sequenze che ha come somma 10 porterà a 13, ma se il primo lancio vale 4, le sequenze che fanno raggiungere 12 subito prima di 13 non porteranno ad eseguire il lancio successivo.
In altre parole, tutte quelle probabilità che hai indicato come P(k) con k maggiore di 6 sono in realtà probabilità di ottenere k come totale dopo il primo lancio condizionata a non ottenere più di 12 durante la sequenza considerando il primo lancio. Quindi vanno indicate con simboli diversi perché sono quantità diverse a seconda del valore della probabilità totale.
dice maggiore di 12, quindi credo che con 12 si tiri ancora. Le probabilità che ho indicato con P(k) sono le probabilità di ottenere k con n-1 lanci. le P(j) con 1<=j<=6 sono, invece, le probabilità dell'ultimo lancio.
Se al primo lancio hai ottenuto 1 puoi ottenere 13 se nei lanci successivi ad un certo punto assommi 12, oppure puoi ottenere 14 se nei lanci successivi ad un certo punto assommi 13 senza assommare prima 12 (altrimenti ti devi fermare), oppure puoi ottenere 15 se nei lanci successivi ad un certo punto assommi 14 senza assommare prima 12 o 13 (altrimenti ti devi fermare), etc etc.
Se al primo lancio hai ottenuto 2 puoi ottenere 13 se nei lanci successivi ad un certo punto assommi 11, oppure puoi ottenere 14 se nei lanci successivi ad un certo punto assommi 12 senza assommare prima 11 (altrimenti ti devi fermare), etc etc.
Quindi nel secondo caso la probabilità di assommare 12 dal secondo lancio in poi non è la stessa probabilità di assommare 12 dal secondo lancio in poi che hai considerato nel primo caso.
però quelle probabilità che ho indicato con P(j) sono quelle dell'ultimo lancio, non del primo. Ho ragionato così: Quali sono i casi in cui vinco con 13? Ci sono i seguenti 6 casi:
1. Nei primi n-1 lanci ho fatto 12 e nell'ultimo faccio 1
2. Nei primi n-1 lanci faccio 11 e nell'ultimo faccio 2
...
6. Nei primi n-1 lanci faccio 7 e nell'ultimo lancio faccio 6
Le probabilità dei 6 casi indicati sono:
Caso 1: Probabilità di fare 12 con n-1 lanci moltiplicato Probabilità di fare 1 con l'ultimo lancio
Caso 2: Probabilità di fare 11 con n-1 lanci moltiplicato Probabilità di fare 2 con l'ultimo lancio
ecc...
Per il 14 è la stessa cosa, solo che manca il caso in cui l'ultimo lancio è un 1, in quanto questo implicherebbe che nei primi n-1 lanci io abbia fatto 13.
(ovviamente è tutto ragionato)
Lo stesso ragionamento possiamo ripeterlo con P(15) che risulterà minore di P(14), e così via
È senz'altro 13 !!
La somma che ha più probabilità di uscire è....13 !!
È di certo.... P(14)<P(13)
Ci sono sei possibili risultati prima che il totale parziale superi 12, sono: 12, 11, 10, 9, 8, 7.
I possibili risultati per ognuno di questi sono elencati di seguito:
12: 13,14,15,16,17,18
11: 12,13,14,15,16,17
10: 11,12,13,14,15,16
9: 10,11,12,13,14,15
8: 9,10,11,12,13,14
7: 8,9,10,11,12,13
Il 13 appare come il totale più probabile in quanto è l'unico con possibilità di essere raggiunto in tutti e sei i casi.
(Volendo si potrebbe far un calcolo de genere:
Ci sono 36 voci tra cui il 13 appare 6 volte, 12 e 14 appaiono 5 volte e così via. Se assegniamo le probabilità ai possibili totali in base al numero della loro occorrenze, possiamo ottenere il valore atteso:
1/36•[6⋅13+5(12+14)+4(11+15)+3(10+16)+2(9+17)+1(8+18)]= 1/36⋅468= 13)
Ovviamente in alcuni dei 36 risultati non otteniamo un numero >12 quindi il dado andrà ritirato ancora fino a ritrovarci nella condizione di fine gioco(somma>12).
Questo non alterare l’uscita del 13 che rimarrà sempre il totale con più probabilità di uscita, ma alzerà la “media” dei risultati…
questo non è un caso di distribuzione Normale e se dovessimo calcolare la media pesata di ogni totale, otterremmo un valore maggiore di 14, che è interessante ma non richiesto dal quesito.
Potete fare una simulazione:
una veloce simulazione di 10000 lanci fatta da me:
13= 2784 volte
14= 2410 volte
15= 1861 volte
16= 1510 volte
17= 976 volte
18= 359 volte
La simulazione conferma che il totale più probabile è il 13…
Se invece dovessi fare una media pesata dei totali, otterrei un valore di 14.68.
con Markov si possono calcolare le probabilità esatte
Probabilità
13 ⇒ 3647371105/13060694016 ≃ 27,93%
14 ⇒ 3095329537/13060694016 ≃ 23,70%
15 ⇒ 2511747217/13060694016 ≃ 19,23%
16 ⇒ 1901445049/13060694016 ≃ 14,56%
17 ⇒ 1271727037/13060694016 ≃ 09,74%
18 ⇒ 0633074071/13060694016 ≃ 04,84%
Questa è la matrice di Markov relativa al problema.

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pasquale.clarizio

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