CONTROLLI DI PARITÀ E IRRAZIONALITÀ DI √3

CONTROLLI DI PARITÀ E IRRAZIONALITÀ DI √3

Le dimostrazioni usuali dell'irrazionalità di √3 (per discesa infinita o per fattorizzazione unica) si basano su argomenti che funzionano "modulo 3".
Sorprendentemente, è possibile dare la seguente dimostrazione che si basa esclusivamente su argomenti di parità, dunque che funziona "modulo 2". Questo la rende qualitativamente differente dalle dimostrazioni citate sopra [1].
Supponiamo √3=a/b, con a, b interi positivi senza fattori comuni. Allora a²=3b² e, siccome a e b non possono essere entrambi pari, segue che devono essere entrambi dispari.
Ponendo a=2n+1 e b=2m+1, si ottiene dunque
4m²+4m+1 = 3(4n²+4n+1).
Sviluppando i calcoli, sottraendo 1 ad ambo i membri e dividendo per 2, ricaviamo
2m²+2m = 6n²+6n+1.
Ciò è assurdo, dato che il membro di sinistra è un intero pari, mentre quello di destra è dispari.
Esattamente lo stesso argomento mostra che, se k è un intero tale che k≡3 (mod 4), allora √k è irrazionale.
Per gli altri interi k non quadrati, la situazione è più delicata. Se k=5, l'argomento di parità funziona ancora con una semplice modifica: partendo da
4m²+4m+1 = 5(4n²+4n+1),
sottraendo 1 e dividendo per 4 si ottiene
m²+m = 5n²+5n+1,
di nuovo una contraddizione dato che m²+m = m(m+1) è sempre pari, mentre 5n²+5n+1 = 5n(n+1)+1 è sempre dispari.
Tuttavia, non c'è modo (mi sembra) di adattare il metodo per k=17.

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pasquale.clarizio

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