costruire somme di Riemann su intervalli illimitati
La (2) non credo che possa essere usata come definizione anche se non so giustificare le mie parole: mi puzza e basta.
La (2) è insensata nella teoria di Lebesgue: il secondo membro è invariante per cambiamenti di f su insiemi di misura nulla mentre il primo non lo è, dato che f è complessivamente valutata solo su un insieme numerabile (posso cambiarla in modo che la serie faccia ciò che mi garba).
Se f è continua, noncrescente e integrabile allora la serie converge per ogni N e la (2) è vera.
Dimostrazione.
Suppongo a=0 solo per semplificare la scrittura. Definisco f_N:(0,+oo)-->R ponendo:
f_N(x)=f(k/N)
per (k-1)/N<x<=k/N, ciò per k=1,2,...
Allora
0 <=f_N(x)<=f(x) per ogni x e ogni N.
Siccome la serie è l'integrale di f_N, essa converge.
Lasciamo la serie e parliamo dell'integrale di f_N.
Se f_N converge quasi ovunque a f per N-->oo si applica il Teorema di Lebesgue ed è fatta. Non vedo come dimostrare ciò senza l'ipotesi di continuità.
Ma in tale ipotesi si ha addirittura la convergenza uniforme.
Infatti, dalla monotonia segue che f ha limite all'infinito e l'integrabilità implica che tale limite non può essere non nullo. Dunque f è infinitesima. Continua e infinitesima implica uniformemente continua. Allora, fissato eps>0, si prenda il delta della definizione di continuità uniforme. Sia N>1/delta. Per k=1,2,... si ha quanto segue: siccome per x compreso fra
(k-1)/N e k/N i punti
x e k/N distano meno di delta,
f_N(x)=f(k/N) e f(x) distano meno di eps.
è f(x) = sin(x^2), che è integrabile in senso generalizzato, ma la serie \sum_{k=1}^{infty} sin^2(k\n) non converge.
nel perfetto controesempio: che mostra che la continuità non è sufficiente.
Se prendi sulla semiretta non negativa la funzione che vale 1 in [n-(1/n^2), n+(1/n^2)], n>0 naturale, 0 altrove, la serie a primo membro diverge sempre, mentre la funzione è integrabile in senso generalizzato secondo Riemann. Con un minimo sforzo si trova un simile caso per f continua.
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