curiosità sulle potenze dispari
1) Sappiamo che la somma di due numeri è divisibile per S.
(x+y) modulo S = 0
Dimostrare che lo è anche x^k + y^k dove k è un numero dispari.
2) Sappiamo che la differenza di due numeri è divisibile per D.
(x-y) modulo D = 0
Dimostrare che lo è anche x^k - y^k dove k è un numero dispari.
Soluzione
1) Quando l'esponente è un numero dispari, la somma può essere scomposta in due polinomi:
x^k+y^k = (x+y) [x^(k-1)y^0 - x^(k-2)y^1 + x^(k-3)y^2 - ... - x^1*y^(k-2) + x^0*y^(k-1)]
Dato che la somma (x+y) era divisibile per S, lo è anche x^k+y^k.
Facciamo la prova con S=4+3=7 e k=3.
4^3+3^3 = 64+27 = 91 divisibile per 7 come lo era la somma 4+3.
2) Quando l'esponente è un numero dispari, la differenza può essere scomposta in due polinomi:
x^k-y^k = (x-y) [x^(k-1)y^0 + x^(k-2)y^1 + x^(k-3)y^2 + ... + x^1*y^(k-2) + x^0*y^(k-1)]
Dato che la differenza (x-y) era divisibile per D, lo è anche x^k-y^k.
Facciamo la prova con D=7-2=5 e k=3.
7^3-2^3 = 343-8 = 335 divisibile per 5 come lo era la differenza 7-2.
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