derivare l'equazione del moto di un oscillatore forzato da una forza a sua volta oscillante e smorzato da un attrito viscoso(in particolare l'ampiezza) senza usare i numeri complessi ma risolvendo normalmente l'equazione differenziale

Un oscillatore armonico smorzato e forzato da una forza armonica del tipo F(t)=F0sen(ωt) ha equazione md²x/dt² + r dx/dt + kx = F(t). Si può ricavare mediante equilibrio dinamico delle forze oppure con metodi energetici tipo Equazione di Eulero Lagrange. Per risolvere una equazione differenziale come quella , prima si risolve l'omogenea associata. L'integrale dell'omogenea associata si ricava imponendo la soluzione x(t)=Ce^λt e risolvendo l'equazione algebrica di secondo grado associata in λ . Poiché un sistema del genere è sempre asintoticamente stabile , i λ saranno sempre a parte reale negativa (complessi o meno ), ragion per cui la soluzione omogenea tenderà a zero per t tendente all'infinito (transitorio del sistema). L'integrale particolare si può trovare usando il metodo della variazione delle costanti ad esempio , ma in generale si può affermare che l'integrale particolare di una equazione del genere è del tipo Acos(ωt + φ). Imponendo tale soluzione all'equazione di partenza puoi trovare A e φ eguagliando il primo membro al secondo. L'integrale particolare fornisce quella che si dice "risposta a regime del sistema". Lo spostamento assoluto della massa oscillante è ovviamente la somma della risposta a regime e del transitorio iniziale.