Determinare i valori di n∈ℕ per i quali n²+n+7 è un quadrato perfetto
Una soluzione poco elegante ma credo rigorosa. Probabilmente si può fare più agilmente se si conosce un po' di teoria dei numeri.
La differenza tra due quadrati successivi è data da (m+1)² - m² = 2m + 1.
Dato che n²+n+7 è la somma di un quadrato e di (n+7), se n+7 < 2n+1 (cioè n > 6), non ci possono essere soluzioni perché n²+n+7 è più piccolo di (n+1)², e non ci sono quindi possibili quadrati.
A questo punto, per tentativi, si può provare con n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, e si vede che solo 1 e 6 portano ad un quadrato perfetto.
Si vede subito che n²+n+7 è un quadrato perfetto quando n=1 (vale a dire 9).
Quando n>1, si vede pure che:
n² < n² + n + 7 < (n+2)²
per cui dovrebbe essere, per soddisfare la richiesta:
n² + n + 7 = (n+1)²
cioè:
n = 6.
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