Determinare, se esistono, due numeri deversi tali che ognuno di essi sia il quadrato dell'altro.

Determinare, se esistono, due numeri deversi tali che ognuno di essi sia il quadrato dell'altro.

(-1+i√3)/2, (-1-i√3)/2

il quadrato di un numero complesso ha come modulo il quadrato del modulo e come argomento l’argomento moltiplicato per 2.
L’unico numero reale positivo il cui quadrato è uguale a sé stesso è 1 (o zero, che però è una soluzione degenere): il modulo deve quindi essere 1.
L’argomento invece deve rappresentare un angolo che moltiplicato per quattro (2x2) coincida con l’angolo di partenza: anche in questo caso c’è una soluzione degenere uguale a zero e le uniche altre due soluzioni identificano angoli di 120 e 240 gradi (in radianti 2π/3 e 4π/3). Infatti 120x2=240 e 240x2=480=120. Tra l’altro le tre soluzioni 0, 120 e 240 sono isomorfe al gruppo ciclico Z3.
I due numeri cercati sono dunque, applicando la formula di Eulero, cos(2π/3)+i*sen(2π/3) e cos(4π/3)+i*sen(4π/3).
Abbiamo:
x = y²
y = x²
cioè:
y = y⁴
e
y⁴-y = y·(y - 1)·(y²+y+1) = 0.
I due numeri diversi cercati si ottengono attraverso y²+y+1 = (y+½)²+¾ = 0 e sono quelli indicati inizialmente
nei reali il problema sembra privo di soluzione... dovremmo mettere a sistema le equazioni y=x^2 e x=y^2...
l'equazione risolvente è y=y^4 da cui y(1-y^3)=0
che ammette soluzioni reali y=0 e y=1... e due soluzioni complesse tra loro coniugate...
rispettivamente -1/2-sqrt3/2*i e
-1/2+sqrt3/2*i

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pasquale.clarizio

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