Determinare, se esistono, le coppie (p, h) con p numero primo dispari e h intero positivo, per cui 2^(p - 2) = hp + 1
Non dovrebbero esistere soluzioni di tale forma.
2ᵖ⁻²=hp+1
p≥3 per cui il primo membro è pari. Allora necessariamente h è dispari dovendo essere p primo dispari.
posto h=2k+1 e
moltiplicando per 2 ad ambo i membri
2ᵖ⁻¹=2((2k+1)p+1)
passando alla congruenza mod p
1≡2 mod p
ma allora p=1
per cui non si hanno soluzioni nella forma voluta.
Il quesito è semplice se si conosce il piccolo teorema di Fermat. Ovviamente è sufficiente moltiplicare subito primo e secondo membro per 2:
2^(p - 1) = 2hp + 2 per arrivare all'assurdo
1 = 2 mod p.
In alternativa, se si moltiplica per 4, si ha
2^p = 4hp + 4 che si può scrivere nella forma 2^p - 1 = 4hp + 3 e invocare il mio teorema in base al quale ogni divisore primo di 2^p - 1 è della forma 2kp + 1.
Quindi dovrebbe essere
4hp + 3 = 2kp + 1 ossia
(k - 2h)p = 1
che è manifestamente impossibile.
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