dimostrare che det(A) = det(A^t), come posso?

dimostrare che det(A) = det(A^t), come posso?

usare il teorema di Laplace...
visto che hai libertà di sviluppare il determinante secondo le righe o le colonne (a tuo piacimento), su A lo sviluppi secondo le righe e su A^t secondo le colonne. E' una buona possibilità
una matrice generica 3×3 e fanne la trasposta. Calcolando il determinante di ambedue le matrici con Laplace, ti accorgi che lo sviluppo è uguale
Un'osservazione:
Forse il metodo più rapido è osservare che, se un addendo nell'espressione del determinante di A corrisponde a una permutazione p, allora lo stesso addendo nell'espressione del determinante della trasposta di A compare in corrispondenza della permutazione inversa di p. Questo perché scambiando le righe con le colonne scambi il ruolo di origine ed immagine.
Pensando, però:
Sappiamo che det è l'unica funzione multilineare alternante che vale uno sulla matrice identità. Basta, quindi, dimostrare che anche det(-^t) gode delle medesime proprietà (che è ovvio) e, così, si ha l'uguaglianza.

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pasquale.clarizio

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