dimostrare che la funzione arcotangente non é periodica facendo esclusivamente utilizzo della definizione di periodicità?

basta negare la definizione. E quindi mostrare che comunque scegli T arctg(x+T) è diverso da arctg(x)

mi limiterei a provare che è monotona crescente. In questo modo per ogni x in |R e per ogni T >0
arctg(x+T) > arctg(x)