Dimostrare che l'equazione x⁴ - 2x²y - 340y² + x² - y + 1 = 0 non possiede soluzioni intere
x⁴-2x²y-340y²+x²-y+1=0 1)
può scriversi:
x⁴+(1-2y)x²-(340y²+y-1)=0
eq.ne biquadratica in x,
imponendo Δₓ=k²
1364y²-3=k² 2)
si perviene alla Pel like negativa:
k²-1364y²=-3
tale eq.ne non ha soluzioni intere quindi non ne ha la 1):
lo mostro con una tecnica elementare.
deve essere
k dispari,
k=2h+1
da qui si arriva a scrivere
h²+h-(341y²+1)=0
per avere soluz intere
Δ(h)=n²
ossia
1364y²+5=n² 3)
sottraendo la 2) dalla 3)
n²-k²=8
di soluzioni
n=±1
k=±3
in tutte le possibili combinazioni,
ma n=±1
porta nella 3) a
1364y²=-4
impossibile.
pertanto senza neanche controllare la 2) si conclude che la 1) non ha soluzioni intere.
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