dimostrare l'eventuale esistenza di punti a coordinate intere sull'iperbole di equazione X² - 22XY - 100Y² + 1 = 0
x²+22xy-100y²+1=0 1)
non ha soluzioni intere
per dimostrarlo si risolve p.es. rispetto a x l′eq.ne
Δ=(22y)²-4·1·(-100y²+1)=E²
884y²-4=E²
detto
E=2F
221y²-1=F²
F²-221y²=-1 2)
la 2 è una eq.ne di Pell negativa che non ha soluzioni in quanto
D dispari della forma 4k+1
D=221=13·17=11²+10²=5²+14²
Per un teorema riportato nel libro il segreto dei numeri
poiche′ 11 e 5 non sono r.q. ne di 13 (ne′ di 17 ma è sufficiente la prima verifica), la 2) e di conseguenza la 1) non hanno soluzioni.
x²-Dy²=-1
è impossibile se si verifica una delle seguenti condizioni:
a) D è divisibile per 4 o per qualche primo della forma 4h+3
b) se D è pari e D=a²+b² risulta
a≡±3 mod 8
b≡±3 mod 8
per ogni coppia a, b
c)per ogni coppia a,b
b dispari b non è r.q. di D
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