ho 1 triangolo equilatero, con AD = 15, BD = 17 e CD = 8. calcolare ABC
dato un triangolo equilatero e un punto P, dette p q t le distanze del punto dai vertici del triangolo equilatero, e detto a il lato del triangolo equilatero, allora
3(p⁴+q⁴+t⁴+a⁴)=(p²+q²+t²+a²)²
p=8 q=15 t=17
si giunge all′equazione biquadratica:
a⁴-578a²+40321=0
detto b=a²
la unica soluzione accettabile è
b=289+120√3
e quindi
a=√(289+120√3)
altra soluzione:
Altra maniera è notare che le 3 distanze 8 15 17 sono una terna pitagorica rototraslare il cateto minore e l′ipotenusa sul cateto maggiore e applicare il teorema di Carnot tra i cateti 8 e 15 per una apertura di 90 + 60 = 150º
a=√(8²+15²-2·8·15cos(150º))
a=√(289-240(-√3/2))
a=√(289+120√3)
In base a ciò che è stato già pubblicato in un esercizio analogo, poichè 8, 15, 17 è una terna pitagorica, djrei:
L=√(289+120√3)=22,3
con approssimazione per eccesso del risultato alla prima cifra decimale.
facendo ruotare i segmenti BD, DA e DC di 60 gradi attorno a B in senso antiorario, otteniamo il triangolo che ha per lati proprio BD, DA e DC. Inoltre , se indico con alfa l'angolo BDA, nel triangolo sopra ottenuto opposto al lato di misura 8 sarà pari ad alfa-60. Applico al suddetto triangolo il teorema di Carnot per trovare l'angolo alfa: alfa= 60+arccos(15/17). Ora riapplico Carnot al triangolo BDA per trovare il lato AB: AB=radq(AD^2+BD^2-2AD*BD*cos(alfa) da cui alla fine AB=22,29
e' notare che D deve giacere su 3 circonferenze, ciascuna con centro in un vertice del triangolo e raggio facilmente desumibile dalla figura.
Il problema pero', e' che non sappiamo le posizioni dei vertici, perche' il lato del triangolo e' da trovare. Detto L tale lato, e ponendo D(a,b), si ottiene un sistema di 3 eq (quadratiche) in 3 incognite: a,b,L.
Al quale vanno aggiunte le condizioni:
a,b >0;
a<L
b<L(sqrt3)/2.
Dopo circa 6 Kg 
di passaggi algebrici, tutto sommato banali, si ottengono due candidati valori per L^2:
di passaggi algebrici, tutto sommato banali, si ottengono due candidati valori per L^2:289+_120*sqrt3; sostitutendo quello col -, si ottiene un valore di a>L, da scartare.
Quello col + invece da' un valore valido anche per a.
Quindi sol finale: L=sqrt(289+120sqrt3)).
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