1) I numeri primi sono infiniti.

Questo teorema fu dimostrato per la prima volta da Euclide, ma oggi esistono almeno altre cinquanta dimostrazioni. Io ne ho riportata una nel post del 22 gennaio 2021.

2) I numeri primi sono tutti “vicini” ai multipli di 6.

Dimostrazione: tutti i numeri primi, a parte 2, sono dispari. Scriviamo in tre colonne i numeri dispari:

03 05 07

09 11 13

15 17 19

21 23 25

27 29 31

Ci fermiamo qui, dato che si vede subito che nella prima colonna tutti i numeri sono divisibili per 3. Ovviamente quella colonna non può contenere numeri primi. La formula che genera la seconda colonna si può scrivere così: 6n-1, mentre la formula che genera la terza colonna si può scrivere così: 6n+1. Quindi, un numero primo può esistere solo “vicino” a un multiplo di 6: o prima o dopo (6n-1 o 6n+1).

3) I numeri primi gemelli sono infiniti.

Quando due numeri primi differiscono fra loro di 2, vengono chiamati numeri primi gemelli. La congettura che i numeri primi gemelli siano infiniti è uno dei problemi più grandi della teoria dei numeri. Le coppie di numeri primi gemelli inferiori a 1000 sono:

(3,5) (5,7) (11,13) (17,19) (29,31) (41,43) (59,61) (71,73) (101,103) (107,109) (137,139) (149,151) (179,181) (191,193) (197,199) (227,229) (239,241) (269,271) (281,283) (311,313) (347,349) (419,421) (431,433) (461,463) (521,523) (569,571) (599,601) (617,619) (641,643) (659,661) (809,811) (821,823) (827,829) (857,859) (881,883).

Il matematico Tom Greer, nel 2016, ha scoperto la più grande coppia di numeri primi gemelli: 2.996.863.034.895*2^1.290.000 ± 1 (hanno 388.342 cifre). Anche se questa congettura, al momento, non è stata dimostrata, esiste però la dimostrazione, trovata da Zhang Yitang, un matematico cinese, che esistono infinite coppie di numeri primi distanti tra loro meno di 70 milioni. Siamo ancora lontani, ma chissà... col tempo, forse...

4) Tutti i numeri primi hanno la stessa probabilità di terminare con le cifre 1, 3, 7, 9 (non considerando il 2 e il 5).

Nei primi anni del diciannovesimo secolo Gauss aveva una tabella con milioni di numeri primi e iniziò a contarli a gruppi di 1000 per verificare se esistesse una frequenza fissa. Scoprì che nei numeri primi inferiori al milione (che sono 78.498 - vedi figura), il 25% circa termina con 1, il 25% con 3, il 25% con 7 e il 25% con 9. Elaborò poi la congettura che la distribuzione dei numeri primi seguisse l'andamento dato dalla formula:

p(x) ≈ x/ln(x) dove p(x) è il numero di primi inferiori o uguali a x e ln(x) è il logaritmo naturale di x.

5) Il Teorema dei numeri primi afferma che esiste una distribuzione regolare della quantità di numeri primi all'aumentare dei valori. Gauss ipotizzo la semplice formula indicata al punto 4, ma nel 1896 la congettura è diventata un teorema grazie al lavoro di Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin.

La loro formula è: p(x) = Li(x) + O(k) dove Li(x) è il logaritmo integrale e la O(k) (O grande) è una notazione matematica usata per descrivere con precisione il comportamento asintotico di una funzione dopo avervi applicato delle semplificazioni. Non riporto il valore esatto della funzione k, perché troppo astruso. Lo hanno dimostrato e la comunità scientifica l'ha accettato.

6) Se “n” è un numero primo, allora divide (n-1)! + 1.

Questo è il poco famoso Teorema di Wilson. Per esempio: 11 è primo, quindi deve dividere 10! + 1.

Infatti, quel numero vale 3.628.801 e facendo questo calcolo per le cifre in posizione dispari: 3+2+8+1=14 e questo per le cifre in posizione pari: 6+8+0=14 si dimostra che quel numero è divisibile per 11.

Intorno all'anno 1000 Ibn al-Haytham scoprì questo teorema, ma oggi si chiama Teorema di Wilson perché fu riscoperto dallo studente John Wilson 700 anni dopo, senza però riuscire a dimostrarlo. Lagrange lo dimostrò nel 1773.

7) Tutti i numeri pari si possono scrivere come somma di due numeri primi.

Questa è solo una congettura, non un teorema, poiché nessuno è riuscito ancora a dimostrarla. Nel 1742, Christian Goldbach la riportò a Eulero, il quale gli rispose dichiarando di considerarla vera, ma di non saperla dimostrare. Oggi si chiama, pertanto, congettura di Goldbach.

Per esempio:

10=3+7

16=5+11

32=3+29

64=3+61

256=107+149

8) Per ogni numero pari n, esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza è n.

Questa è solo una congettura e si chiama congettura di Polignac, perché la scoprì nel 1849 il matematico francese Alphonse de Polignac. Proviamo a verificarla per alcuni numeri piccoli.

10= 149-139 oppure 4271-4261

16= 1847-1831 oppure 3137-3121

20= 907-887 oppure 3967-3947

30= 4861-4831 oppure 6947-6917

9) Il numero 21.000 è legato ai numeri primi in uno strano modo.

Esistono tre diverse successioni, rispettivamente di 6, 7 e 8 numeri primi, che si differenziano fra loro di 21.000. Per n=6 abbiamo i seguenti numeri primi:

467 - 21.467 - 42.467 - 63.467 - 84.467 - 105.467.

Per n=7 abbiamo i seguenti numeri primi:

499 - 21.499 - 42.499 - 63.499 - 84.499 - 105.499 - 126.499.

Per n=8 abbiamo i seguenti numeri primi:

1.764.227 - 1.785.227 - 1.806.227 - 1.827.227 - 1.848.227 - 1.869.227 - 1.890.227 - 1.911.227.

Non sappiamo se esistono altre successioni di numeri primi legati a 21.000 per n maggiore di 8.

10) Il numero 57 è legato ai numeri primi in uno strano modo.

1709 è primo.

175709 è primo.

17575709 è primo.

1757575709 è primo.

175757575709 è primo.

17575757575709 è primo.

1757575757575709 è primo.

175757575757575709 è primo.

17575757575757575709 è 232.433 * 75.616.446.785.773.

Solo aggiungendo 8 volte il 57 all'interno di 1709 abbiamo finalmente trovato un numero non primo.

11) Partendo da un numero primo, se ne ottiene sempre “come minimo” un altro inserendo uno o due 9 oppure uno o due 0. Per esempio:

127 è primo

1027 = 13*79

1207 = 17*71

10027 = 37*271

12007 questo è primo

10207 = 59*173

9127 questo è primo

1927 = 41*47

1297 questo è primo

1279 questo è primo

99127 = 2023*5831

19927 questo è primo

12997 = 41*317

12799 questo è primo

91927 = 671*1507

91297 questo è primo

91279 = 37*2467

19279 = 13*1483

12979 questo è primo

Ne abbiamo trovati 8 e non abbiamo fatto nemmeno tutte le combinazioni.

12) Ci sono numeri primi che restano tali anche se cancelli una cifra qualsiasi.

Per esempio: 23 - 37 - 53 - 113 - 131 - 137 - 173 - 179 - 197 - 311 - 417 - 431 - 617 - 719 - 1499 - 2239 - 2293 - 3137 - 4919 - 6173. Proviamo a verificarlo con l'ultimo: 6173.

Tolgo 6: 173 è primo.

Tolgo 1: 673 è primo.

Tolgo 7: 613 è primo.

Tolgo 3: 617 è primo.

Questi sono quattro numeri primi molto lunghi, ottenuti da Giovanni Di Maria tramite ripetizioni.

A) Scrivi 3904 volte il numero 12 e poi accoda il numero 1.

Otterrai un numero primo di 7809 cifre del tipo: 12121212 ... 12121.

B) Scrivi 254 volte la sequenza “12345678” poi togli l'8 finale.

Otterrai un numero primo di 2031 cifre del tipo: 123456781234567812345678 ... 123456781234567.

C) Scrivi 250 volte la sequenza “765432”“ poi accoda il numero 7.

Otterrai un numero primo di 1501 cifre del tipo: 765432765432765432 ... 7654327654327.

D) Scrivi 204 volte la sequenza “6789”“ poi accoda il numero 67.

Otterrai un numero primo di 818 cifre del tipo: 678967896789 ... 678967.