Il numero dei parallelepipedi rettangoli per i quali le misure delle diagonali sono espresse tutte da numeri interi
a) sette,
b) cinque,
c) meno di cinque,
d) infinito,
e) nessuna delle precedenti
Se a, b, c sono gli spigoli del parallelepipedo non necessariamente interi secondo quanto ho inteso dal quesito dobbiamo avere le diagonali delle facce d, e, f, e le due identiche diagonali maggiori g, intere.
(1)
a²+b²=d²
a²+c²=e²
b²+c²=f²
sommando m.a.m. le 3 equazioni (1) si ottiene
2(a²+b²+c²)=2(d²+e²+f²)=2g²
ovvero
d²+e²+f²=g²
questa eq.ne diofantea si sa risolvere:
chiamando
d=x, e=y, f=t, g=u
si ottiene la soluzione generale da quella del problema
x²+y²+z²+t²=u²
x=2mr
y=2nr
z=2lr
t=m²+n²+l²-r²
u=m²+n²+l²+r²
ponendo z=0 e quindi l=0
x=2mr
y=2nr
t=m²+n²-r²
u=m²+n²+r²
vi son poi le soluzioni multiple
ottenute da queste moltiplicandole per un intero positivo k.
quindi la risposta è d) infinito.
Diverso il discorso se si richiede che anche gli spigoli siano interi, il caso del mattone di Eulero che rimane a tutt′oggi un problema aperto, nel qual caso la risposta sarebbe stata e)
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