Il teorema di Pitagora può essere dimostrato

Il teorema di Pitagora può essere dimostrato

Il teorema di Pitagora può essere dimostrato in tanti modi diversi, ma uno è molto divertente e si può fare con forbici e cartoncino. Ritaglia un triangolo rettangolo con i lati abc, dove a e b sono i cateti e c è l'ipotenusa (Figura 1). Il teorema di Pitagora dice che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa. In formule: a^2 + b^2 = c^2
Ricordati anche la formula dell'area del triangolo, poiché ti servirà. L'area di un triangolo rettangolo di lati abc, dove a e b sono i cateti e c è l'ipotenusa, è data da: Area = ab/2.
Per dimostrare il teorema, costruisci un quadrato di lato a+b lasciando disegnata la figura del triangolo (Figura 2). Hai ottenuto una figura costituita da cinque elementi, di cui quattro uguali al triangolo originale e un quadratone dai lati blu.
L'area dei 4 triangoli è data da 4 volte l'area del triangolo, quindi 4ab/2 = 2ab.
L'area del quadrato dai lati blu è data dal quadrato dell'ipotenusa, quindi c^2.
A questo punto, l'area del quadrato di lato a+b è data da 2ab+c^2.
Ma l'area di questo quadrato si calcola anche come (a+b)^2. E dall'algebra sappiamo che il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo. In formule: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Ponendo ora questa formula uguale a quella trovata prima, relativa ai cinque elementi, avremo:
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 e semplificando 2ab
a^2 + b^2 = c^2 come volevasi dimostrare.
Pitagora aveva scoperto anche un'altra proprietà dei triangoli rettangoli. Se su ciascun lato non costruiamo quadrati, bensì figure simili (cioè tali che ognuna sia l’ingrandimento o il rimpicciolimento delle altre), allora la somma delle aree delle figure costruite sui cateti sarà uguale all'area della figura costruita sull’ipotenusa (Figura 3). Per la validità del teorema di Pitagora non è obbligatorio costruire dei quadrati, bastano figure simili fra loro. ☺

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pasquale.clarizio

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