Non è al momento noto se esistano infinite coppie di primi gemelli. Tuttavia, nel 1919, Viggo Brun dimostrò [1] il seguente

TEOREMA. La serie dei reciproci dei primi gemelli

(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+... (*)

è convergente (o finita).

(Si ricordi che invece, per un ben noto risultato di Eulero, la serie dei reciproci di tutti i primi è divergente).

La somma della serie (*), detta "costante di Brun", si indica il genere con B₂. Tale serie converge molto lentamente: dopo aver sommato un miliardo di termini, si stima che vi sia ancora un errore relativo del 5%. Se si usano 10^16 coppie di primi gemelli, il valore della somma è circa 1.902160583104.

Si sa dimostrare incondizionatamente (cioè, senza utilizzare l'Ipotesi di Riemann) che B₂< 2.347; assumendo tale ipotesi, si ha la stima migliore B₂< 2.1754, vedi [2].

Non è noto al momento se B₂ sia o meno irrazionale. Ovviamente, se si riuscisse a dimostrare che lo è, si potrebbe concludere che esistono un numero infinito di coppie di primi gemelli.