La media aritmetica di due numeri positivi (e^a, e^b) è sempre maggiore, o al più uguale, della media geometrica.

La media aritmetica di due numeri positivi (e^a, e^b) è sempre maggiore, o al più uguale, della media geometrica.

Abbiamo, per ogni a,b ∈ ℝ:
0 ≤ (eᵃᐟ²-eᵇᐟ²)² =
= (eᵃᐟ²)² + (eᵇᐟ²)² - 2eᵃᐟ²eᵇᐟ² =
= eᵃ + eᵇ - 2e⁽ᵃ⁺ᵇ⁾ᐟ².
Da cui immediatamente:
e⁽ᵃ⁺ᵇ⁾ᐟ² ≤ (eᵃ + eᵇ)/2.
nfatti la media armonica è inferiore alla geometrica che a sua volta è inferiore alla aritmetici L'uguaglianza avviene se i termini sono uguali

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pasquale.clarizio

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