lim di x -> +inf di 1-cos(x) / x
so solo che limite per x che tende ad infinito di cosx o sinx NON ESISTE
Avendo una quantità limitata, e dividendola per una quantità sempre più grande
in realtà anche per dire quello si usa il teorema del confronto:
Sia g(x) infinitesima in x0 (che può essere anche infinito) e f(x) tale che, in un intorno di x0, -L<f(x)<L. Allora si ha in un intorno di x0
|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)<Lg(x)
Per il teorema del confronto anche f(x)g(x) è infinitesima.
Ora basta considerare x0=∞, f(x)=cosx e g(x)=x
Usare il Confronto in questo caso e' praticamente l'unica cosa che puoi fare.
Faccio notare che non c'e' bisogno di separare i limiti (nel tuo caso, non fa ne' bene ne' male, ma a volte fa casini, creando forme indeterminate che in realta' non c'erano).
Basta notare che siccome cos x e' sempre tra -1 e 1, l'espressione (1 - cos x) e' tra 0 e 2; quindi anche il suo modulo e' tra 0 e 2. Quindi, "alla peggio" e' 2; ma dividendola per x, che -> infinito, tendera' a 0
(Cosx)(1/x) limitata per infinitesima = infinitesima il limite fa 0
il numeratore resta una quantità finita, il denominatore tende all'infinito, quindi il tutto tende a zero
In realtà non è vero che il limite del seno o del coseno non esiste è semplicemente indeterminato
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