lim x->+inf (x-1) e^(pigreco/4 - arctg(x-2/x-1) -x = -1/2
lim ₓ→+∞ f(x)=-1/2
f(x)=
(x-1)exp(π/4-arctan((x-2)/(x-1)))-x
poni
x-1=t
hai
lim ₜ→+∞ f(t)
f(t)=t·exp(π/4-arctan((t-1)/t))-t-1
f(t)=t·exp(arctan(1)-arctan(1-1/t))-t-1
usando la formula di sottraxione dell′arcotangente:
arctan(x₁)-arctan(x₂)=
arctan((x₁-x₂)/(1+x₁x₂))
con
±x₁x₂<1
e mettendo t in evidenza
f(t)→t[exp(arctan(1/(2t-1))-1]-1
posto t=1/u
t→+∞⇒ u→0⁺
f(u)=[exp(arctan(u/(2-u))-1)/u-1
lim ᵤ→₀₊ f(u)=
sviluppo con taylor arctan(·) a meno di infinitesimi di o(u/(2-u))
e moltiplico e divido per u/(2-u) entro parentesi quadra
f(u)={[exp(u/(2-u))-1](u/(2-u))}/(u²/(2-u))
ho un limite notevole che converge a 1 per una funzione il cui limite è 1/2 meno 1
f(u)={[exp(u/(2-u))-1]/(u/(2-u))}·1/(2-u)-1→ per (u→0+) a
1·1/2-1=-1/2
per cui il limite vale -1/2
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