È la sottile differenza tra "uguaglianza" e "relazione d'equivalenza"... il considerare "uguali" cose che uguali non sono.
L'uguaglianza e' un aspetto piu ristretto della congruenza...nello specifico, algebricamente parlando, l'uguaglianza e' una congruenza modulo1. Anche, se tutti gli interi sono equivalenti modulo 1.
esempio: Prendiamo un quadrato di lato 6cm e un rettangolo di dimensioni 4 e 9cm. Sono di area uguale ma non sono congruenti.
che "uguale" vuol dire "identico", mentre "congruente" vuol dire "uguale a meno di isometrie". Uguale è un concetto più forte, congruente è un concetto più debole. E possiamo andare avanti a "indebolire" o "modificare" il concetto di "uguaglianza" definendo ogni volta la relazione di equivalenza opportuna
(pensa alle frazioni ad es: 2/3 a priori non è uguale a 4/6, perché è scritta in modo diverso, ma noi diciamo che sono uguali perchè sono equivalenti secondo una relazione di equivalenza, cioè perché 2*6=3*4)
questo è il principio di identità. L'identità logica, cioè l'uguaglianza elementare, è descritta esattamente da tre caratteristiche: è riflessiva, cioè A=A, è simmetrica, cioè se A=B allora B=A ed è transitiva, cioè se A=B e B=C allora A=C. La matematica estende questo concetto ad uno un po' più "largo" che è quello di "equivalenza" secondo una determinata relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (cioè una relazione che ha le stesse caratteristiche dell'uguaglianza in senso stretto)
l'identità ,o uguaglianza identica, ha solo la proprietà riflessiva, le altre 'uguaglianze" sono relative ad una caratteristica o modulo ed allora si parla di equivalenza ( estensione della superficie) equiscomponibilta' ecc. e tutte queste le chiamiamo genericamente di equivalenza. Un altro campo di linguaggio ambiguo è quello relativo ad area, volume da una parte ed estensione superficiale e volumica dall'altra. I primi 2 sono misure ( ossia numeri reali assoluti) ed i secondi 2 sono grandezze geometriche.
Congruenza?
Un segmento AB è uguale solo a se stesso, è congruente o isometrico ad A'B' se esiste un movimento rigido ( traslazione....) che permette di sovrapporre i due segmenti e coincidono
non necessariamente traslazione, ma isometria (cioè trasformazione che conserva le distanze, cioè tralsazione, rotazione, simmetria o una qualsiasi composizione di un qualsiasi numero finito di queste).
Congruente è "l'equivalente" di uguale e si utilizza in geometria. Due segmenti di uguale lunghezza, non sono uguali, perché sono costituiti da due insiemi differenti di punti, ma sono congruenti. Due triangoli identici posizionati nel piano in posizioni differenti non possiamo dire che sono uguali, perché i punti che appartengono rispettivamente alle due figure sono differenti, hanno coordinate differenti. Allora diciamo che i due triangoli sono congruenti, perché sono sovrapponibili tramite movimenti rigidi. Ci sono i relativi criteri di congruenza per stabilire se due triangoli sono congruenti.
1⁰ criterio
2⁰ criterio e 2⁰ criterio generalizzato
3⁰ criterio
I triangoli rettangoli hanno 4 criteri di congruenza, riconducibili ai criteri dei triangoli generali.
Esempio: due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo fra essi compreso congruenti (stessa lunghezza i lati e stessa ampiezza l'angolo)
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto ed un angolo acuto congruenti.
Ect ect.
Io a mio figlio lo scorso anno, per alleggerire l'impatto con la geometria euclidea del 1⁰ scientifico con le sue dimostrazioni, ho detto " pensa ad uguale e devi dire congruente ". Poi durante il percorso ha percepito la differenza, ma all'inizio l'ho messo a suo agio così.
La congruenza, potrebbe essere anche definita:
Due insiemi sono "uguali" se sono formati dagli stessi elementi. Due figure geometriche distinte sono formate, in generale, da punti distinti del piano, quindi è scorretto e fuorviante definirle "uguali" (come sottoinsiemi del piano). "Congruenti" significa infatti "che si possono trasformare l'una nell'altra tramite isometrie" (le isometrie sono il gruppo di trasformazioni che definisce la Geometria Euclidea). Il concetto di "congruenza" è quindi il concetto "naturale" di uguaglianza tra figure piane in geometria euclidea.
Dipende dal grado di attenzione che si vuole dare ad alcuni dettagli (quindi sostanzialmente dipende dal contesto in cui si usa e/o dallo scopo didattico - se c'è - del discorso): tecnicamente di "uguale" ci sono soltanto le pure quantità. Tutto quello che ha anche una qualità è definito informalmente "uguale" quando appartiene alla stessa classe di equivalenza rispetto a una determinata relazione di equivalenza. Quest'ultima infatti è ciò che estende il concetto di uguaglianza quantitativa, rispettandone le tre proprietà essenziali (riflessiva, simmetrica, transitiva). Se si vuole mettere in evidenza il tipo di relazione di equivalenza a cui si fa riferimento, si userà una parola specifica per indicarlo, quindi "congruente", "equivalente", "equiscomponibile"... a seconda dei contesti e dei casi. [Per intenderci, dal punto di vista della topologia possiamo pure dire informalmente che una sfera è "uguale" a un cubo. Se non abbiamo chiaro il contesto in cui ci stiamo muovendo, questa affermazione potrebbe sembrare priva di significato o persino totalmente fuori luogo].
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