Nella geometria euclidea, presi tre angoli che sommati diano un angolo piatto

Nella geometria euclidea, presi tre angoli che sommati diano un angolo piatto

esistono infiniti triangoli che li possiedono come angoli interni. Tali triangoli sono detti simili perché hanno i lati in proporzione.
Nelle geometrie non euclidee, invece, non vi sono triangoli (a parte il caso banale di triangoli congruenti) con gli stessi angoli interni. Come dimostrarlo? (n. b. esistono comunque triangoli con i lati in proporzione)
Per la geometria iperbolica ho trovato una semplice dimostrazione, per quella sferica la dimostrazione che ho trovato è un po’ più complessa, perché nella geometria sferica non è solo il V postulato a non essere valido

Da questa proprietà consegue che presi tre angoli esiste un unico triangolo (in geometria sferica se la somma degli angoli eccede l’angolo piatto, in geometria iperbolica se la somma degli angoli è minore dell’angolo piatto) che li possieda come angoli interni.

Sulla sfera la somma degli angoli di un triangolo che copre quasi tutta la sfera (complementare di un triangolo molto piccolo) è prossima a 900°=5π, infatti l’area di un triangolo è (α+β+γ-π)r² e se il triangolo tende a coprire tutta la sfera la superficie tende a 4πr².

 

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pasquale.clarizio

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