Per z reale si ponga E(z)=int_0^z e^(-t^2) dt

Per z reale si ponga E(z)=int_0^z e^(-t^2) dt

Dimostrare che il sistema
E(x)=2y+5, E(y)=3x-8
ha in R^2 una e una sola soluzione (x,y).
Sia F(x,y) = (E(x) - 2y -5, E(y) - 3x + 😎. Allora F è C^infty
e det J_F(x,y) = e^(-x^2-y^2) - 6
\neq 0. Inoltre F è propria, cioè le immagini inverse dei compatti sono compatte. Infatti esse sono chiuse per la continuità di F. Inoltre, se K è un compatto di R^2, esiste M, tale che K \subseteq [-M,M]^2.
Se (x,y) \in F^(-1)(K), dalla prima equazione si ha
- \sqrt(\pi)/2 + 5 - M <= 2y <= \sqrt(\pi) + 5 + M. Analoga limitazione si ottiene per x dalla seconda equazione. Allora, per Teorema dell'invertibilita' globale, F è un diffeomorfismo globale e quindi il problema ha 1 e 1 sola soluzione.

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pasquale.clarizio

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