Un fascio di circonferenze di raggio variabile su un piano perpendicolare alla retta con centro nel punto dato di intersezione.

perché non il piano stesso?

le circonferenze ricoprono il piano ma fissato il raggio r ogni circonferenza é unica

un volta prefissata la distanza r (e precisato che il problema e' ambientato in R^3) i punti cercati devono stare sia su una sfera di centro il punto considerato e raggio r ed al contempo su un cilindro infinito con asse la retta di raggio r: pertanto il luogo cercato ne e' l'intersezione, ovvero il cerchio di centro il punto e raggio r giacente sul piano perp. alla retta per il punto. L'intero piano e' quello che si ottiene facendo variare il parametro r, ma qui direi che lo si pensa fissato all'inizio.