se k=0 le uniche soluzioni sono m=1 e n=0 oppure il contrario.

se k=1 l'unica soluzione è m=n=1.

se k>1, allora m e n devono avere la stessa parità, perché la somma di un pari e un dispari non può essere pari (come evidentemente è 2^k). Se sono entrambi pari allora n=2a, m=2b, quindi

2^k=4a^2+4b^2

per cui si può dividere per 4 e ricondursi ad un'altra equazione dello stesso tipo di quella di partenza, quindi concentriamoci sul caso in cui m e n siano entrambi dispari

2^k=(2a+1)^2+(2b+1)^2

2^(k-1)=2a^2+2a+2b^2+2b+1

Che evidentemente è falsa perché è l'uguaglianza di un pari e un dispari.

Quindi le uniche soluzioni sono quelle già trovate (k=0,n=1,m=0) e (k=1,m=1,n=1) più tutte quelle che si ottengono moltiplicando m e n per una potenza di 2 e contemporaneamente aumentando k di un opportuno multiplo di 2.

Quindi

(k=2q,n=2^q,m=0) e (k=2q+1,n=2^q,m=2^q)