serie numerica (cos 2kpigreco/2n+1) = cos 4/3 pigreco. Vera o falsa?

serie numerica (cos 2kpigreco/2n+1) = cos 4/3 pigreco. Vera o falsa?

il primo membro puo′ scriversi infatti usando l′identità:
∑ⱼ₌₁ⁿcos(a+jd)=
=cos(a+nd/2)sin(nd/2)/sin(nd)-cos(a)
per a=0,
d=2π/(2n+1),
d/2=π/(2n+1)
diviene:
cos(πn/(2n+1))sin(πn/(2n+1))/sin(π/(2n+1))-1=
sin(2πn/(2n+1))/(2·sin(π/(2n+1)))-1=
sin(π-2nπ/(2n+1))/(2·sin(π/(2n+1)))-1=
sin((2nπ+π-2nπ)/(2n+1))/(2·sin(π/(2n+1)))-1=
sin(π/(2n+1))/(2·sin(π/(2n+1))-1=1/2-1=-1/2
ma
-1/2=cos(2π/3)=cos(4π/3)
per cui l′identità è dimostrata

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pasquale.clarizio

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