Si può risolvere l'equazione x=x+1?
Certamente.
x=x+1. Elevo al quadrato
x²=x²+2x+1. Sottraggo x² da entrambi i membri
0=2x+1
2x=-1
x=-1/2
Dov'è l'errore?
E' fondamentale:
Quando si eleva al quadrato una equazione si possono introdurre soluzioni che nell'equazione di partenza non ci sono
Il "trucco" è nel dominio... Per elevare al quadrato devi creare un sistema con X >= -1 e x>=0. Quindi X=-1/2 non è una soluzione. Perché devono avere lo stesso segno, quindi o entrambi i membri positivi o entrambi negativi.
x=x+1 => x²=x²+2x+1 => 0=2x+1 => 2x=-1 => x=-1/2
è corretta, e dunque se mai vi fosse un numero X tale che X = X + 1, allora X sarebbe uguale a -1/2 (ma in modi analoghi, per ogni numero C si potrebbe dimostrare che un fantomatico numero X tale che X = X + 1 è uguale a C).
Però la precedente catena di implicazioni non è in grado di dire nulla circa l'esistenza di un siffatto numero X.
Solo se tutte le implicazioni di sopra valessero come bi-implicazioni, otterremmo il risultato assurdo -1/2 = 1/2.
Ad eccezione della prima, tutte le implicazioni valgono come bi-implicazioni, e dunque si ha
x=-1/2 => 2x=-1 => 0=2x+1 => x²=x²+2x+1,
da cui segue che -1/2 soddisfa l'equazione x²=x²+2x+1.
Invece da x²=x²+2x+1, possiamo solo dedurre |x| = |x+1|, e quindi la precedente catena di implicazione ci consente di dedurre (correttamente) che |-1/2| = |-1/2+1|, cioè che |-1/2| = 1/2.
Volendo fare un passo in più, vale l'implicazione
|x| = |x+1| => (x = x+1 oppure x = -x-1)
e poiché x = x+1 è falsa per ogni x, quest'ultima implica
|x| = |x+1| => x = -x-1.
In altre parole, si ottiene la catena di implicazioni
x=-1/2 => 2x=-1 => 0=2x+1 => x²=x²+2x+1 => |x| = |x+1| => x = -x-1
che, ovviamente, non genera alcun paradosso.
Concetto anche di: bi-implicazioni
Una bi-implicazione tra due asserzioni A e B
(si scrive A <=> B e si legge "A se e solo se B") è una relazione equivalente alle due implicazioni A => B e B => A.
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