Sia a > 0. Dimostrare che per ogni funzione g:[-a,a]->R continua esiste ed è unica u : [-a,a] -> R continua
tale che
u(x) = x/2 u(x/2) + g(x)
per ogni x in [-a,a].
iterando la stessa formula fino a n.
Per n—>oo c’è un termine in u che va a 0 e una somma che diventa la serie che ho scritto. Per l’unicità considero due soluzioni u e v e la differenza w=u-v. La w soddisfa la stessa equazione funzionale con g=0, quindi ha solo il primo termine, come la u di prima, che tende a 0, quindi w=0.
Denoto con V lo spazio delle funzioni reali continue su [-a,a].
L'equazione data equivale alla ricerca dei punti fissi della funzione
F:V-->V definita da:
se v in V allora F(v) è l'elemento di V dato da
x-->(x/2)v(x/2)+g(x).
Se trovo una norma che rende V completo e F contrazione, posso applicare il Teorema delle contrazioni e concludere.
V è completo rispetto all'usuale norma del massimo. Idem rispetto a una norma equivalente. Scelgo la norma equivalente seguente: fissato b>0 verificante
b<min{a/2,e}
pongo per v in V
||v||=max e^(-|x|/b) |v(x)|
ove è inteso, qui e nel seguito, che il massimo è preso sotto la condizione
|x|<=a.
Se u e v sono in V allora
||F(u)-F(v)||
= max e^(-|x|/b) (|x|/2) ×
|u(x/2)-v(x/2)|
= max e^(-|x/2|/b) (|x|/2) ×
e^(-|x/2|/b) |u(x/2)-v(x/2)|
<=||u-v|| max{t e^(-t/b): 0<=t<=a/2}
= b e^(-1) ||u-v||.
Siccome b e^(-1)<1 concludo.
Nota: il punto fisso è anche il limite uniforme di una qualunque successione {u_n} verificante
u_0 in V e
u_(n+1)=F(u_n) per ogni n.
Prendendo u_0=0 si ottiene u nella forma di una serie
u in L^1(-a,a)
verificante
u(x) = (x/2) u(x/2) + g(x)
q.o. in (-a,a).
In questo caso si può supporre
g in L^1(-a,a).
Il tutto dovrebbe funzionare per l'analogo problema in L^p ma dovrei controllare per iscritto.
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