Sia P(x) un polinomio, a coefficienti interi, che in corrispondenza dei tre interi k, k + 1, k + 2, assume valori multipli di 3. Dimostrare che P(m) è multiplo di 3 qualunque sia l'intero m
una breve spiegazione, potrebbe non apparire chiara:
P(k) ≡ 0 (mod 3)
P(k + 1) ≡ 0 (mod 3)
P(k + 2) ≡ 0 (mod 3)
Per fissare le idee supponiamo che k sia multiplo di 3, quindi
k ≡ 0 (mod 3)
k + 1 ≡ 1 (mod 3)
k + 2 ≡ 2 (mod 3)
Siccome ℤ₃ = {[0]₃, [1]₃, [2]₃}, dalla divisione di k, k + 1, k + 2 per 3 ottengo tutti i resti possibili, cioè tutti gli elementi di ℤ₃.
Allora per ogni m sarà
m ≡ k (mod 3)
oppure m ≡ k + 1 (mod 3)
oppure m ≡ k + 2 (mod 3)
Quindi P(m) ≡ P(k) (mod 3)
oppure P(m) ≡ P(k + 1) (mod 3)
oppure P(m) ≡ P(k + 2) (mod 3)
In tutti e tre i casi, si ha P(m) ≡ 0 (mod 3), cioè P(m) è multiplo di 3 per ogni m ∈ ℤ.
una soluzione più specifica:
Osserviamo che se m e n ≠ m sono interi, allora il numero f(m) - f(n) è divisibile per m - n.
Di conseguenza per un intero m diverso da k, k + 1, k + 2 i numeri:
f(m)-f(k), f(m)-f(k + 1), f(m)-f(k + 2) (*) sono divisibili rispettivamente per
m - k, m - (k +1), m - (k + 2). (**)
Poiché numeri (**) sono tre interi consecutivi, uno di essi è necessariamente multiplo di tre. Consegue, per le ipotesi del quesito, che uno dei numeri (*) è anch'esso multiplo di 3 e, quindi, che f(m) è multiplo di 3 qualunque sia l'intero m.
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